Mathematik Gymnasium Nordrhein-Westfalen

Operieren

Hilfsmittelfreies Operieren

wenden grundlegende Kopfrechenfertigkeiten sicher an.
stellen sich geometrische Situationen räumlich vor und wechseln zwischen Perspektiven.
übersetzen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache und umgekehrt.
führen geeignete Rechenoperationen auf der Grundlage eines inhaltlichen Verständnisses durch.
arbeiten unter Berücksichtigung mathematischer Regeln und Gesetze mit Variablen, Termen, Gleichungen und Funktionen.
führen Darstellungswechsel sicher aus.
führen Lösungs- und Kontrollverfahren sicher und effizient durch.
nutzen schematisierte und strategiegeleitete Verfahren, Algorithmen und Regeln.

Arbeiten mit Medien und Werkzeugen

nutzen mathematische Hilfsmittel (Lineal, Geodreieck und Zirkel) zum Messen, genauen Zeichnen und Konstruieren.
nutzen Informationen und Daten aus Medienangeboten (Printmedien, Internet und Formelsammlung) zur Informationsrecherche.
nutzen digitale Mathematikwerkzeuge (dynamische Geometriesoftware, Funktionenplotter, Computer-Algebra-Systeme, Multirepräsentationssysteme, Taschenrechner und Tabellenkalkulation).
entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge und wählen diese begründet aus.
nutzen analoge und digitale Medien zur Unterstützung und zur Gestaltung mathematischer Prozesse.

Modellieren

Strukturieren

erfassen reale Situationen und beschreiben diese mit Worten und Skizzen.
stellen eigene Fragen zu realen Situationen, die mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten beantwortet werden können.
treffen begründet Annahmen und nehmen Vereinfachungen realer Situationen vor.

Mathematisieren

übersetzen reale Situationen in mathematische Modelle bzw. wählen geeignete Modelle aus und nutzen geeignete Darstellungen.
ordnen einem mathematischen Modell passende reale Situationen zu.
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb des mathematischen Modells.

Interpretieren und Validieren

beziehen erarbeitete Lösungen auf die reale Situation und interpretieren diese als Antwort auf die Fragestellung.
überprüfen Lösungen auf ihre Plausibilität in realen Situationen.
benennen Grenzen aufgestellter mathematischer Modelle und verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung.

Problemlösen

Erkunden

geben Problemsituationen in eigenen Worten wieder und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation.
wählen geeignete heuristische Hilfsmittel aus (Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren).
setzen Muster und Zahlenfolgen fort, beschreiben Beziehungen zwischen Größen und stellen begründete Vermutungen über Zusammenhänge auf.

Lösen

wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge, Verfahren, Medien und Werkzeuge zur Problemlösung aus.
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (Beispiele finden, Spezialfälle finden, Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Schlussfolgern, Verallgemeinern).
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege, planen Vorgehensweisen zur Lösung eines Problems und führen Lösungspläne zielgerichtet aus.

Reflektieren

überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen.
vergleichen verschiedene Lösungswege im Hinblick auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede und beurteilen deren Effizienz.
analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern.
benennen zugrundeliegende heuristische Strategien und Prinzipien und übertragen diese begründet auf andere Problemstellungen.

Argumentieren

Vermuten

stellen Fragen, die für die Mathematik charakteristisch sind, und stellen begründete Vermutungen über die Existenz und Art von Zusammenhängen auf.
benennen Beispiele für vermutete Zusammenhänge.
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur.

Begründen

stellen Relationen zwischen Fachbegriffen her (Ober-/Unterbegriff).
begründen Lösungswege und nutzen dabei mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente.
verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten.
nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (Gegenbeispiel, direktes Schlussfolgern, Widerspruch).
erläutern vorgegebene Argumentationen und Beweise hinsichtlich ihrer logischen Struktur (Folgerungen/Äquivalenz, Und-/Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen).

Beurteilen

beurteilen, ob vorliegende Argumentationsketten vollständig und fehlerfrei sind.
ergänzen lückenhafte und korrigieren fehlerhafte Argumentationsketten.

Kommunizieren

Rezipieren

entnehmen und strukturieren Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Darstellungen.
recherchieren und bewerten fachbezogene Informationen.
erläutern Begriffsinhalte anhand von typischen inner- und außermathematischen Anwendungssituationen.

Produzieren

geben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren mit eigenen Worten und mithilfe mathematischer Begriffe wieder.
verbalisieren eigene Denkprozesse und beschreiben eigene Lösungswege.
verwenden in angemessenem Umfang die fachgebundene Sprache.
wählen je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen.
dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar und präsentieren diese.

Diskutieren

greifen Beiträge auf und entwickeln sie weiter.
vergleichen und beurteilen Ausarbeitungen und Präsentationen hinsichtlich ihrer fachlichen Richtigkeit, Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität.
führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbei.

Arithmetik/Algebra

erläutern Eigenschaften von Primzahlen, zerlegen natürliche Zahlen in Primfaktoren und verwenden dabei die Potenzschreibweise.
bestimmen Teiler natürlicher Zahlen, wenden dabei die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 4, 5 und 10 an und kombinieren diese zu weiteren Teilbarkeitsregeln.
begründen mithilfe von Rechengesetzen Strategien zum vorteilhaften Rechnen und nutzen diese.
verbalisieren Rechenterme unter Verwendung von Fachbegriffen und übersetzen Rechenanweisungen und Sachsituationen in Rechenterme.
kehren Rechenanweisungen um.
nutzen Variablen bei der Beschreibung von einfachen Sachzusammenhängen und bei der Formulierung von Rechengesetzen.
setzen Zahlen in Terme mit Variablen ein und berechnen deren Wert.
stellen Zahlen auf unterschiedlichen Weisen dar, vergleichen sie und wechseln situationsangemessen zwischen den verschiedenen Darstellungen.
schätzen Größen, wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus und wandeln sie um.
runden Zahlen im Kontext sinnvoll und wenden Überschlag und Probe als Kontrollstrategien an.
deuten Brüche als Anteile, Operatoren, Quotienten, Zahlen und Verhältnisse.
kürzen und erweitern Brüche und deuten dies als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung.
berechnen und deuten Bruchteil, Anteil und Ganzes im Kontext.
führen Grundrechenarten in unterschiedlichen Darstellungen sowohl im Kopf als auch schriftlich durch und stellen Rechenschritte nachvollziehbar dar.
nutzen ganze Zahlen zur Beschreibung von Zuständen und Veränderungen in Sachzusammenhängen und als Koordinaten.
stellen rationale Zahlen auf der Zahlengeraden dar und ordnen sie der Größe nach.
geben Gründe und Beispiele für Zahlbereichserweiterungen an.
leiten Vorzeichenregeln zur Addition und Multiplikation anhand von Beispielen ab und nutzen Rechengesetze und Regeln.
deuten Variablen als Veränderliche zur Beschreibung von Zuordnungen, als Platzhalter in Termen und Rechengesetzen sowie als Unbekannte in Gleichungen und Gleichungssystemen.
stellen Terme als Rechenvorschrift von Zuordnungen und zur Berechnung von Flächeninhalten und Volumina auf.
stellen Gleichungen und Ungleichungen zur Formulierung von Bedingungen in Sachsituationen auf.
formen Terme, auch Bruchterme, zielgerichtet um und korrigieren fehlerhafte Termumformungen.
ermitteln Exponenten im Rahmen der Zinsrechnung durch systematisches Probieren auch unter Verwendung von Tabellenkalkulationen.
ermitteln Lösungsmengen linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme sowie von Bruchgleichungen unter Verwendung geeigneter Verfahren und deuten sie im Sachkontext.
wählen algebraische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zielgerichtet aus und vergleichen die Effizienz unterschiedlicher Lösungswege.
stellen Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise dar.
unterscheiden rationale und irrationale Zahlen und geben Beispiele für irrationale Zahlen an.
vereinfachen Terme, bei denen die Potenzgesetze unmittelbar anzuwenden sind.
wechseln zwischen Bruchdarstellung und Potenzschreibweise.
wechseln zwischen Wurzel- und Potenzschreibweise.
nutzen und beschreiben ein algorithmisches Verfahren, um Quadratwurzeln näherungsweise zu bestimmen.
berechnen Quadratwurzeln mithilfe der Wurzelgesetze auch ohne digitale Werkzeuge.
wählen Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen begründet aus, vergleichen deren Effizienz und bestimmen die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung auch ohne Hilfsmittel.
wenden das Radizieren als Umkehrung des Potenzierens an, lösen Exponentialgleichungen x b c = näherungsweise durch Probieren, durch Logarithmieren sowie mit digitalen Mathematikwerkzeugen.
lösen Exponentialgleichungen b^x = c näherungsweise durch Probieren, durch Logarithmieren sowie mit digitalen Mathematikwerkzeugen.
wenden ihre Kenntnisse über quadratische Gleichungen und Exponentialgleichungen zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme an und deuten Ergebnisse in Kontexten.

Funktionen

beschreiben den Zusammenhang zwischen zwei Größen mithilfe von Worten, Diagrammen und Tabellen.
wenden das Dreisatzverfahren zur Lösung von Sachproblemen an.
erkunden Muster in Zahlenfolgen und beschreiben die Gesetzmäßigkeiten in Worten und mit Termen.
rechnen mit Maßstäben und fertigen Zeichnungen in geeigneten Maßstäben an.
charakterisieren Zuordnungen und grenzen diese anhand ihrer Eigenschaften voneinander ab.
beschreiben zu gegebenen Zuordnungen passende Sachsituationen.
charakterisieren Funktionen als Klasse eindeutiger Zuordnungen.
stellen Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und als Terme dar und nutzen die Darstellungen situationsangemessen.
beschreiben den Einfluss der Parameter auf den Graphen einer linearen Funktion mithilfe von Fachbegriffen.
interpretieren die Parameter eines linearen Funktionsterms unter Beachtung der Einheiten in Sachsituationen.
lösen innermathematische und alltagsnahe Probleme mithilfe von Zuordnungen und Funktionen auch mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und Multirepräsentationssysteme).
wenden Prozent- und Zinsrechnung auf allgemeine Konsumsituationen an und erstellen dazu anwendungsbezogene Tabellenkalkulationen mit relativen und absoluten Zellbezügen.
beschreiben prozentuale Veränderungen mit Wachstumsfaktoren und kombinieren prozentuale Veränderungen.
stellen Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und als Terme dar.
verwenden aus Graph, Wertetabelle und Term ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Bearbeiten mathematischer Fragestellungen.
charakterisieren Funktionsklassen und grenzen diese anhand ihrer Eigenschaften ab.
bestimmen anhand des Graphen einer Funktion die Parameter eines Funktionsterms dieser Funktion.
erklären den Einfluss der Parameter eines Funktionsterms auf den Graphen der Funktion (Ausnahme bei quadratischen Funktionen in der Normalform: nur Streckfaktor und y-Achsenabschnitt).
erkunden und systematisieren mithilfe dynamischer Geometriesoftware den Einfluss der Parameter von Funktionen.
deuten Parameter und Eigenschaften einer Funktion in Anwendungssituationen.
formen Funktionsterme quadratischer Funktionen um und nutzen verschiedene Formen der Termdarstellung situationsabhängig.
berechnen Nullstellen quadratischer Funktionen durch geeignete Verfahren.
wählen begründet mathematische Modelle zur Beschreibung von Wachstumsprozessen aus, treffen Vorhersagen zur langfristigen Entwicklung und überprüfen die Eignung des Modells.
identifizieren funktionale Zusammenhänge in Messreihen mit digitalen Hilfsmitteln.
wenden lineare, quadratische und exponentielle Funktionen zur Lösung inner- und außermathematischer Problemstellungen an.
erläutern die Sinus- und Kosinusfunktion als Verallgemeinerung der trigonometrischen Definitionen des Sinus und des Kosinus am Einheitskreis.
beschreiben zeitlich periodische Vorgänge mithilfe von Sinusfunktionen.

Geometrie

erläutern Grundbegriffe und verwenden diese zur Beschreibung von ebenen Figuren und Körpern sowie deren Lagebeziehungen zueinander.
charakterisieren und klassifizieren besondere Vierecke.
identifizieren und charakterisieren Körper in bildlichen Darstellungen und in der Umwelt.
zeichnen ebene Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal und Geodreieck sowie dynamische Geometriesoftware.
erzeugen ebene symmetrische Figuren und Muster und ermitteln Symmetrieachsen bzw. Symmetriepunkte.
stellen ebene Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar.
erzeugen Abbildungen ebener Figuren durch Verschieben und Spiegeln, auch im Koordinatensystem.
nutzen dynamische Geometriesoftware zur Analyse von Verkettungen von Abbildungen ebener Figuren.
schätzen und messen die Größe von Winkeln und klassifizieren Winkel mit Fachbegriffen.
schätzen die Länge von Strecken und bestimmen sie mithilfe von Maßstäben.
nutzen das Grundprinzip des Messens bei der Flächen- und Volumenbestimmung.
berechnen den Umfang von Vierecken, den Flächeninhalt von Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken, sowie den Oberflächeninhalt und das Volumen von Quadern.
bestimmen den Flächeninhalt ebener Figuren durch Zerlegungs-und Ergänzungsstrategien.
beschreiben das Ergebnis von Drehungen und Verschiebungen eines Quaders aus der Vorstellung heraus.
stellen Quader und Würfel als Netz, Schrägbild und Modell dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen.
nutzen geometrische Sätze zur Winkelbestimmung in ebenen Figuren.
begründen die Beweisführung zur Summe der Innenwinkel in einem Dreieck und zum Satz des Thales.
führen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durch und nutzen Konstruktionen zur Beantwortung von Fragestellungen.
formulieren und begründen Aussagen zur Lösbarkeit und Eindeutigkeit von Konstruktionsaufgaben.
zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen und geben die Abfolge der Konstruktionsschritte mit Fachbegriffen an.
erkunden geometrische Zusammenhänge (Ortslinien von Schnittpunkten, Abhängigkeit des Flächeninhalts von Seitenlängen) mithilfe dynamischer Geometriesoftware.
lösen geometrische Probleme mithilfe von geometrischen Sätzen.
berechnen Flächeninhalte und entwickeln Terme zur Berechnung von Flächeninhalten ebener Figuren.
beweisen den Satz des Pythagoras.
erzeugen ähnliche Figuren durch zentrische Streckungen und ermitteln aus gegebenen Abbildungen Streckzentrum und Streckfaktor.
berechnen Längen und Flächeninhalte an Kreisen und Kreissektoren.
erläutern eine Idee zur Herleitung der Formeln für Flächeninhalt und Umfang eines Kreises durch Näherungsverfahren.
schätzen und berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern, Teilkörpern sowie zusammengesetzten Körpern.
begründen Gleichheit von Volumina mit dem Prinzip von Cavalieri.
begründen die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens durch invariante Seitenverhältnisse ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke.
erläutern den Kosinussatz als Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.
berechnen Größen mithilfe von Ähnlichkeitsbeziehungen, geometrischen Sätzen und trigonometrischen Beziehungen.
ermitteln Maßangaben in Sachsituationen, nutzen diese für geometrische Berechnungen und bewerten die Ergebnisse sowie die Vorgehensweise.

Stochastik

erheben Daten, fassen sie in Ur- und Strichlisten zusammen und bilden geeignete Klasseneinteilungen.
stellen Häufigkeiten in Tabellen und Diagrammen dar auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (Tabellenkalkulation).
bestimmen, vergleichen und deuten Häufigkeiten und Kenngrößen statistischer Daten.
lesen und interpretieren grafische Darstellungen statistischer Erhebungen.
führen Änderungen statistischer Kenngrößen auf den Einfluss einzelner Daten eines Datensatzes zurück.
diskutieren Vor- und Nachteile grafischer Darstellungen.
schätzen Wahrscheinlichkeiten auf der Basis von Hypothesen sowie auf der Basis relativer Häufigkeiten langer Versuchsreihen ab.
stellen Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen dar und entnehmen Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagrammen.
bestimmen Wahrscheinlichkeiten mithilfe stochastischer Regeln.
grenzen Laplace-Versuche anhand von Beispielen gegenüber anderen Zufallsversuchen ab.
simulieren Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen mit einem stochastischen Modell.
planen statistische Datenerhebungen und nutzen zur Erfassung und Auswertung digitale Werkzeuge.
analysieren grafische Darstellungen statistischer Erhebungen kritisch und erkennen Manipulationen.
verwenden zweistufige Zufallsversuche zur Darstellung zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen.
führen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen durch, um die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen.
berechnen Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen und Vierfeldertafel und deuten diese im Sachzusammenhang.
interpretieren und beurteilen Daten und statistische Aussagen in authentischen Texten.

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